Question

9．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-1，等差数列{b_n}满足b₁=1，b₄=S₈．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用S_n=2a_n-1，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式，利用等差数列{b_n}满足b₁=1，b₄=S₈求出数列的首项与公差，即可求数列{b_n}的通项公式．
（2）先化简c_n，再根据裂项求和即可求出答案．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-1，
∴n≥2时，S_n-1=2a_n-1-1，
∴两式相减可得，a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
n=1时，a₁=2a₁-1，∴a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1；
设{b_n}的公差为d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d，
又b₄=S₂=7，∴d=2．
∴${b_n}=1+（n-1）×2=2n-1（n∈{N^*}）$．
（2）${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}（n∈{N^*}）$．

点评 本题考查数列递推式，考查等比数列的判定与通项，裂项求和，考查学生的计算能力，属于中档题．