Question

15．已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=1，且对任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，则f（2016）+f（2017）=1．

Answer 1

分析 求出f（2）=0，可得f（x）是以4为周期的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解，即可得出结论．：

解答 解：∵f（x+4）=f（x）+f（2）中，
∴令x=-2，得f（2）=f（-2）+f（2），即f（-2）=0．
又f（x）是R上的奇函数，故f（-2）=-f（2）=0．f（0）=0，
∴f（2）=0，
故f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，
从而f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=1．
f（2016）=f（4×504）=f（0）=0．
故f（2016）+f（2017）=0+1=1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查函数值的计算以及奇函数、周期函数的应用，确定f（x）是以4为周期的周期函数是关键．