Question

20．如图，已知平行四边形ABCD中，BC=6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）若CD=2，DB=4，求四棱锥F-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）方法一：推导出四边形EFBC是平行四边形，从而HG∥CD，由此能证明GH∥平面CDE．
方法二：连接EA，推导出GH∥CD，由此能证明GH∥平面CDE．
（2）推导出FA⊥平面ABCD，BD⊥CD．由此能求出四棱锥F-ABCD的体积V_F-ABCD．

解答 证明：（1）方法一：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC．
又EF=AD=BC，∴四边形EFBC是平行四边形，…（3分）
∴H为FC的中点．又∵G是FD的中点，∴HG∥CD．
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，
∴GH∥平面CDE．…（6分）
方法二 连接EA，∵ADEF是正方形，
∴G是AE的中点．
∴在△EAB中，GH∥AB．…（3分）
又∵AB∥CD，∴GH∥CD．
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，
∴GH∥平面CDE．…（6分）
解：（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，
且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD．…（9分）
∵AD=BC=6，∴FA=AD=6．
又∵CD=2，DB=4，CD²+DB²=BC²，∴BD⊥CD．
∵S_?ABCD=CD•BD=8，
∴V_F-ABCD=$\frac{1}{3}$S_?ABCD•FA=$\frac{1}{3}×$8×6=16．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．