Question

9．两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则由另一人投掷，先投掷人的获胜概率是$\frac{12}{17}$（写出计算过程）

Answer 1

分析 根据题意，首先由等可能事件的概率公式计算每次抛掷两颗骰子点数和大于6的概率，由对立事件的概率性质，可得点数和小于等于6的概率；分别求出先投掷的人第一轮获胜、第二轮获胜…的概率，分析可得P₁、P₂、P₃、…P_n、…，组成以$\frac{7}{12}$首项，（$\frac{5}{12}$）²为公比的无穷等比数列，由等比数列的前n项和公式，结合极限计算方法，计算可得答案．

解答 解：根据题意，一次投掷两颗，每颗骰子有6种情况，共有6×6=36种情况，
而点数之和大于6的情况有21种，则每次抛掷两颗骰子点数和大于6的概率为$\frac{21}{36}$=$\frac{7}{12}$，
则抛掷每次两颗骰子点数和小于等于6的概率为1-$\frac{7}{12}$=$\frac{5}{12}$；
若先投掷的人第一轮获胜，其概率为P₁=$\frac{7}{12}$，
若先投掷的人第二轮获胜，即第一轮两人的点数之和都小于或等于6，则其概率为P₂=（$\frac{5}{12}$）²×$\frac{7}{12}$，
若先投掷的人第三轮获胜，即前两轮两人的点数之和都小于或等于6，则其概率为P₃=（$\frac{5}{12}$）⁴×$\frac{7}{12}$，
若先投掷的人第四轮获胜，即前三轮两人的点数之和都小于或等于6，则其概率为P₃=（$\frac{5}{12}$）⁶×$\frac{7}{12}$，
…
分析可得，若先投掷的人第n轮获胜，其概率为P_n=（$\frac{5}{12}$）^2n-2×$\frac{7}{12}$，
P₁、P₂、P₃、…P_n、…，组成以$\frac{7}{12}$首项，（$\frac{5}{12}$）²为公比的无穷等比数列，
则先投掷的人获胜的概率由极限的性质，可得P₁+P₂+P₃+…+P_n+…=$\frac{\frac{7}{12}}{1-（\frac{5}{12}）^{2}}$=$\frac{12}{17}$．
故答案为$\frac{12}{17}$．

点评 本题考查等可能事件的概率的计算，涉及等比数列的前n项和与极限的计算；关键是分类分析、计算先投掷的人获胜的情况，进而由等比数列前n项公式计算．