Question

18．已知△ABC的三边长分别为x，4，2x，则其面积的最大值为$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 设值为4的边长所对的角为θ，由余弦定理可得cosθ=$\frac{5{x}^{2}-16}{4{x}^{2}}$，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，利用三角形面积公式可求S_△ABC=$\frac{\sqrt{\frac{4096}{9}-（3{x}^{2}-\frac{80}{3}）^{2}}}{4}$，利用二次函数的性质即可得解S_△ABC的最大值．

解答 解：∵△ABC的三边长分别为x，4，2x，设值为4的边长所对的角为θ，
∴由余弦定理可得：cosθ=$\frac{{x}^{2}+（2x）^{2}-{4}^{2}}{2×x×（2x）}$=$\frac{5{x}^{2}-16}{4{x}^{2}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{1-（\frac{5{x}^{2}-16}{4{x}^{2}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{-（9{x}^{4}+1{6}^{2}-160{x}^{2}）}{16{x}^{4}}}$=$\sqrt{\frac{\frac{4096}{9}-（3{x}^{2}-\frac{80}{3}）^{2}}{16{x}^{4}}}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•x•（2x）×sinθ=x²•$\sqrt{\frac{\frac{4096}{9}-（3{x}^{2}-\frac{80}{3}）^{2}}{16{x}^{4}}}$=$\frac{\sqrt{\frac{4096}{9}-（3{x}^{2}-\frac{80}{3}）^{2}}}{4}$，
∴当3x²-$\frac{80}{3}$=0，即x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$时，S_△ABC的最大值为：$\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，二次函数的图象和性质，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．