Question

10．设数列{a_n}使得a₁=0，且对任意的n∈N^*，均有|a_n+1-a_n|=n，则a₃所有可能的取值构成的集合为{-3，-1，1，3}；a₆₄的最大值为2016．

Answer 1

分析 ①由于a₁=0，且对任意的n∈N^*，均有|a_n+1-a_n|=n，则n=1时，|a₂-0|=1，解得a₂=±1．利用|a₃-a₂|=2，即可得出a₃．
②对任意的n∈N^*，均有|a_n+1-a_n|=n，可得：a_n+1-a_n=±n，取a_n+1-a_n=n，a₁=0时，数列{a_n}单调递增，利用“累加求和”方法即可得出．

解答 解：①∵a₁=0，且对任意的n∈N^*，均有|a_n+1-a_n|=n，
∴n=1时，|a₂-0|=1，解得a₂=±1．
∴a₂=1，则|a₃-1|=2，解得a₃=3，-1．
∴a₂=-1，则|a₃+1|=2，解得a₃=-3，1．
∴a₃所有可能的取值构成的集合为{-3，-1，1，3}．
②对任意的n∈N^*，均有|a_n+1-a_n|=n，可得：a_n+1-a_n=±n，
取a_n+1-a_n=n，a₁=0时，数列{a_n}单调递增，
可得：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（n-1）+（n-2）+…+1+0
=$\frac{n（n-1）}{2}$，
则a₆₄的最大值=$\frac{64×63}{2}$=2016．
故答案为：{-3，-1，1，3}，2016．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．