Question

19．如图，设P是圆x²+y²=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=$\frac{4}{5}$|PD|．
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程
（2）求过点（3，0），且斜率为$\frac{4}{5}$的直线被C所截线段的长度．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），则|MD|=$\frac{4}{5}$|PD|，解得：$\left\{{\begin{array}{l}{x'=x}\\{y'=\frac{5}{4}y}\end{array}}\right.$，代入x'²+y'²=25，整理得：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$；
（2）设直线方程为：$y=\frac{4}{5}（{x-3}）$，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x₁+x₂=3，x₁•x₂=-8，弦长公式：丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，即可求得直线被C所截线段的长度．

解答 解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），
由|MD|=$\frac{4}{5}$|PD|，解得：$\left\{{\begin{array}{l}{x'=x}\\{y'=\frac{5}{4}y}\end{array}}\right.$
∵P在圆上，
∴x'²+y'²=25，即${x^2}+{（{\frac{5}{4}y}）^2}=25$，整理得：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，
即C的方程为：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$；…（4分）
（2）过点（3，0），斜率为k=$\frac{4}{5}$，的直线方程为：$y=\frac{4}{5}（{x-3}）$，…（6分）
设直线与C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程$y=\frac{4}{5}（{x-3}）$代入C的方程，得$\frac{x^2}{25}+\frac{{{{（{x-3}）}^2}}}{25}=1$，整理得：x²-3x-8=0…（8分）
∴由韦达定理可知：x₁+x₂=3，x₁•x₂=-8，…（10分）
∴线段AB的长度为$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_2}-{x_1}|=\sqrt{1+{{（\frac{4}{5}）}^2}}•\sqrt{{3^2}+32}=\sqrt{\frac{41}{25}×41}=\frac{41}{5}$，
线段AB的长度丨AB丨=$\frac{41}{5}$…（12分）

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，椭圆的标准方程的应用，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．