Question

6．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式（不需证明）．
（1）a₁=0，a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$； 
（2）对一切的n∈N^*，a_n＞0，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1．

Answer 1

分析 分别由已知数列递推式求出数列的前4项，然后例归纳猜测可得两个数列的通项公式．

解答 解：（1）a₁=0，a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，
∴a₂=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
a₃=$\frac{1}{2-{a}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
a₄=$\frac{1}{2-{a}_{3}}$=$\frac{3}{4}$，
则a_n=$\frac{n-1}{n}$，n∈N*，
（2）由a_n＞0，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，得2$\sqrt{{a}_{1}}$=a₁+1，解得a₁=1，
2$\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}}$=a₂+1，解得a₂=3，
2$\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}$=a₃+1，解得a₃=5，
2$\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}}$=a₄+1，解得a₄=7，
由数列的前4项归纳猜测a_n=2n-1．

点评 本题考查数列递推式，考查了由数列的部分项归纳猜测数列的通项公式，是中档题．