Question

20．已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）．
（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；
（2）若直线l与⊙M相交于P，Q两点，且|PQ|=2$\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）解法1：设⊙M的方程为一般式，根据条件列出方程组，求解后即可求出⊙M的方程；
解法2：根据A（1，0），B（1，4）的横坐标相同设M（m，2），由半径相等和两点之间的距离公式列出方程求出m，可得⊙M的方程；
解法3：由向量的坐标运算求出$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$，由向量的数量积运算求出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$和模，判断出△ACB是等腰直角三角形，由直角三角形外接圆的性质求出⊙M的方程；
（2）对直线l的斜率存在问题分类讨论，根据点到直线的距离公式和弦长公式列出方程，求出直线的斜率，即可得到直线方程．

解答 解：（1）解法1：设⊙M的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，…（2分）
则由题意得$\left\{\begin{array}{l}1+D+F=0\\ 17+D+4E+F=0\\ 13+3D+2E+F=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}D=-2\\ E=-4\\ F=1\end{array}\right.$，…（6分），
∴⊙M的方程为x²+y²-2x-4y+1=0，或（x-1）²+（y-2）²=4…（8分）
解法2：∵A（1，0），B（1，4）的横坐标相同，故可设M（m，2），…（3分）
由MA²=MC²得（m-1）²+4=（m-3）²，解得m=1…（6分）
∴⊙M的方程为（x-1）²+（y-2）²=4，或x²+y²-2x-4y+1=0…（8分）
解法3：∵A（1，0），B（1，4），C（3，2），∴$\overrightarrow{CA}=（2，2），\overrightarrow{CB}=（2，-2）$，
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0，|{\overrightarrow{CA}}|=|{\overrightarrow{CB}}|$，则△ACB是等腰直角三角形，
因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，…（6分）
∴⊙M的方程为（x-1）²+（y-2）²=4…（8分）
（2）当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它截⊙M得弦长恰为$2\sqrt{3}$…（9分）
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4…（10分）
∵圆心到直线y=kx+4的距离d=$\frac{{|{k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$…（11分）
由勾股定理得${（\frac{{|{k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}）^2}+{（\frac{{2\sqrt{3}}}{2}）^2}=4$，解得$k=-\frac{3}{4}$…（14分）
故直线l的方程为x=0或3x+4y-16=0…（15分）

点评 本题考查圆的方程求法：待定系数法和几何法，直线与圆相交的弦长问题常根据半弦长，弦心距，半径构成直角三角形，利用勾股定理求解，考查一题多解，以及化简、计算能力．