Question

15．已知函数f（x）=4sin（ωx-$\frac{π}{4}$）•cosωx在x=$\frac{π}{4}$处取得最值，其中ω∈（0，2）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{36}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若方程g（x）+k=0在[0，π]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦、余弦公式，两角差的正弦公式化简解析式，根据题意和正弦函数的最值列出方程，化简后由ω的范围求出ω，由周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由（1）和三角函数图象平移变换法则求出g（x），由x的范围和正弦函数的性质求出g（x）的值域，分离出k后结合条件即可求出k的取值范围．

解答 解：（1）$f（x）=4sin（ωx-\frac{π}{4}）•cosωx=2\sqrt{2}sinωx•cosωx-2\sqrt{2}{cos^2}ωx$
=$\sqrt{2}sin2ωx-\sqrt{2}cos2ωx-\sqrt{2}=2sin（2ωx-\frac{π}{4}）-\sqrt{2}$，…（3分）
因为f（x）在$x=\frac{π}{4}$处取得最值，
所以$2ω•\frac{π}{4}-\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，即$ω=2k+\frac{3}{2}，k∈Z$，
因为ω∈（0，2），所以当k=0时，$ω=\frac{3}{2}$，
则$f（x）=2sin（3x-\frac{π}{4}）-\sqrt{2}$，
所以$T=\frac{2π}{3}$．…（6分）
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{36}$个单位，
得$y=2sin[3（x+\frac{π}{36}）-\frac{π}{4}]-\sqrt{2}=2sin（3x-\frac{π}{6}）-\sqrt{2}$，
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，
得$g（x）=2sin（x-\frac{π}{6}）-\sqrt{2}$，…（9分）
因为当x∈[0，π]时，$-\frac{π}{6}≤x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
所以$-\frac{1}{2}≤sin（x-\frac{π}{6}）≤1$，$g（x）∈[-1-\sqrt{2}，2-\sqrt{2}]$，
因为方程g（x）+k=0在[0，π]上有解，所以k=-g（x）在[0，π]上有解，
所以$k∈[\sqrt{2}-2，\sqrt{2}+1]$，
即实数$k的取值范围为[\sqrt{2}-2，\sqrt{2}+1]$．…（12分）

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换中的公式，三角函数图象平移变换法则，以及方程解的个数问题，考查转化思想，数形结合思想，化简、变形能力．