Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（1+cosB）+b（1+cosA）=3c．
（1）求证：a，c，b成等差数列；
（2）若C=$\frac{π}{3}$，求$\frac{a}{b}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理与等差数列的定义即可得出．
（2）利用余弦定理即可得出．

解答 （1）证明：∵a（1+cosB）+b（1+cosA）=3c，
∴a+a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+b+b×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=3c，
化为：a+b=2c，
∴a，c，b成等差数列．
（2）解：由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，又c=$\frac{a+b}{2}$．
∴$\frac{（a+b）^{2}}{4}$=a²+b²-2ab×$cos\frac{π}{3}$，
化为：（a-b）²=0，
∴a=b．
∴$\frac{a}{b}$=1．

点评 本题考查了余弦定理与等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．