Question

10．已知命题p：“方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{3-m}$=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”，
命题q：“函数f（x）=lg（x²-mx+$\frac{9}{16}$）的定义域为R”．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∧q是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p为真命题：则3-m＞m-1＞0，解得m范围．若命题q为真命题：则△＜0，解得m取值范围．再利用复合命题的真假判定方法即可得出．

解答 解：∵命题p：“方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{3-m}$=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”，
∴3-m＞m-1＞0，解得1＜m＜2．
命题q：“函数f（x）=lg（x²-mx+$\frac{9}{16}$）的定义域为R”，∴△=m²-4×$\frac{9}{16}$＜0，解得$-\frac{3}{2}$$＜m＜\frac{3}{2}$．
（1）由命题p为真命题，则实数m的取值范围是（1，2）；
（2）若p∧q是真命题，则p与q都为真命题，∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜2}\\{-\frac{3}{2}＜m＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$1＜m＜\frac{3}{2}$．
∴实数m的取值范围是$（1，\frac{3}{2}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、对数函数的性质、复合命题的真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．