Question

5．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosα}\\{y=4+sinα}\end{array}\right.$（α为参数）和两点A（-a，0），B（a，0）（a＞0）．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）若曲线C上存在点P，使得∠APB=90°，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出曲线C的普通方程，再由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的极坐标方程．
（2）设曲线C上存在点P（3+cosα，4+sinα），使得∠APB=90°，从而$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$=（a+3+cosα，4+sinα）•（-a+3+cosα，4+sinα）=0，由此利用三角函数性质能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosα}\\{y=4+sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
∴曲线C的普通方程为（x-3）²+（y-4）²=1，
即x²+y²-6x-8y+24=0，
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得曲线C的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ-8ρsinθ+24=0．
（2）设曲线C上存在点P（3+cosα，4+sinα），使得∠APB=90°，
∵A（-a，0），B（a，0）（a＞0），
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$=（a+3+cosα，4+sinα）•（-a+3+cosα，4+sinα）=0，
∴a²=8sinα+6cosα+26=10sin（α+θ）+26≤36，
又∵a＞0，
∴实数a的取值范围是（0，6]．

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意直角坐标和极坐标互化公式的合理运用．