Question

11．定义在R上的函数f（x）满足$f（{x+2}）=\frac{1}{2}f（x）$，当x∈[0，2）时，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-2{x^2}，0≤x＜1}\\{-{2^{1-|{\frac{3}{2}-x}|}}，1≤x＜2}\end{array}}\right.$．函数g（x）=lnx-m．若任意的x₁∈[-4，-2），均存在${x_2}∈[{{e^{-1}}，{e^2}}]$使得不等式f（x₁）-g（x₂）≥0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [10，+∞）
• B． [7，+∞）
• C． [-3，+∞）
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 求出f（x）_min=-8，g（x）_min=-1-m，根据任意的x₁∈[-4，-2），均存在${x_2}∈[{{e^{-1}}，{e^2}}]$使得不等式f（x₁）-g（x₂）≥0恒成立，得出f（x）_min≥g（x）_min，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：由题意，f（x+4）=$\frac{1}{2}$f（x+2）=$\frac{1}{4}$f（x），
设x∈[-4，-2），则x+4∈[0，2），∴f（x）=4f（x+4）=$\left\{\begin{array}{l}{2-8{（x+4）}^{2}，-4≤x＜-3}\\{-{2}^{3-|-x-\frac{5}{2}|}，-3≤x＜-2}\end{array}\right.$．
-4≤x＜-3时，f（x）∈（-6，2]；-3≤x＜-2时，f（x）∈[-8，-4$\sqrt{2}$]
∴f（x）_min=-8，
∵g（x）=lnx-m，${x_2}∈[{{e^{-1}}，{e^2}}]$，
∴g（x）_min=-1-m，
∵任意的x₁∈[-4，-2），均存在${x_2}∈[{{e^{-1}}，{e^2}}]$使得不等式f（x₁）-g（x₂）≥0恒成立，
∴f（x）_min≥g（x）_min，
∴-8≥-1-m，
∴m≥7．
故选：B．

点评 本题考查恒成立问题，考查函数的最值，正确转化为f（x）_min≥g（x）_min是关键．