Question

设函数f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²（其中e是自然对数的底数），已知x=-2和x=1为函数f（x）的极值点．
（Ⅰ）求实数a和b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数M，使方程f（x）=M有4个不同的实数根？若存在，求出实数M的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=（x²+2x）e^x-1+3ax²+2bx，…（1分）
∵x=-2和x=1为函数f（x）的极值点，
∴f′（-2）=f′（1）=0，…（2分）
即，解得，…（3分）
所以，，b=-1．…（4分）
（Ⅱ）∵，b=-1，∴f′（x）=（x²+2x）e^x-1-x²-2x=（x²+2x）（e^x-1-1），…（5分）
令f′（x）=0，解得x₁=-2，x₂=0，x₃=1，…（6分）
∵令f′（x）＜0，可得x∈（-∞，-2）∪（0，1），令f′（x）＞0，可得x∈（-2，0）∪（1，+∞），…（8分）
∴f（x）在区间（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增的，在区间（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减的．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，由（Ⅱ）得函数的极大值为f（x）_极大值=f（0）=0，…（10分）
函数的极小值为f（x）_极小值=f（-2）=，和f（x）_极小值=f（1）=- …（11分）
又，…（12分）
f（-3）=（-3）²e^-4+9-9=9e^-4＞0，f（3）=3²e²-9-9=9（e²-2）＞0，…（13分）
通过上面的分析可知，当M∈时方程f（x）=M恰有4个不等的实数根．
所以存在实数M，使方程f（x）=M有4个根，其M取值范围为．…（14分）
分析：（Ⅰ）求导函数，利用x=-2和x=1为函数f（x）的极值点，可得导数值为0，即可方程，即可求实数a和b的值；
（Ⅱ）由导数的正负，即可确定函数的单调性；
（Ⅲ）确定函数的极大值与极小值，即可知使方程f（x）=M有4个根的M取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查方程根问题，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性与极值，属于中档题．