Question

已知定义域为R的函数f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的范围．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数定义，利用f（0）=0且f（-1）=-f（1），列出关于a、b的方程组并解之得a=b=1；
（2）根据函数单调性的定义，任取实数x₁、x₂，通过作差因式分解可证出：当x₁＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）＞0，即得函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0转化为：k＜3t²-2t对任意的t∈R都成立，结合二次函数的图象与性质，可得k的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，可得b=1
又∵f（-1）=-f（1）
∴

1-2-1

2-1+a

=-

1-2

2 +a

，解之得a=1
经检验当a=1且b=1时，f（x）=

1-2x

2x+1

，满足f（-x）=-f（x）是奇函数．    …（4分）
（2）由（1）得f（x）=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

，
任取实数x₁、x₂，且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，可得2x1＜2x2，且(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；     …（8分）
（3）根据（1）（2）知，函数f（x）是奇函数且在（-∞，+∞）上为减函数．
∴不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，即f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）
也就是：t²-2t＞-2t²+k对任意的t∈R都成立．
变量分离，得k＜3t²-2t对任意的t∈R都成立，
∵3t²-2t=3（t-

1

3

）²-

1

3

，当t=

1

3

时有最小值为-

1

3

∴k＜-

1

3

，即k的范围是（∞，-

1

3

）．                                  …（12分）

点评：本题以含有指数式的分式函数为例，研究了函数的单调性和奇偶性，并且用之解关于x的不等式，考查了基本初等函数的简单性质及其应用，属于中档题．