Question

若函数f（x）=x³-3x²+2，则方程f（f（x））=0的所有实数根的个数是

 

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Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：令f（x）=t，利用导数求得函数f（x）的极大值为f（0）=2，极小值为f（2）=-2，可得函数f（x）的零点有3个，设分别为x₁，x₂，x₃，则由三次函数的图象特征可得，-2＜x₁＜0，0＜x₂＜2，x₃＞2．可得t³-3t²+2=0 有3个实数根，且-2＜t₁＜0，0＜t₂＜2，t₃＞2．求出函数y=f（t）的图象和直线y=t₁ 的交点个数、函数y=f（t）的图象和直线y=t₂ 的交点个数，函数y=f（t）的图象和直线y=t₃的交点个数，再把这些交点个数相加，即得所求．

解答： 解：令f（x）=t，则方程f（f（x））=0，即 t³-3t²+2=0．
由题意可得方程t=0，即 x³-3x²+2=0．
由于f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），故函数f（x）的极大值为f（0）=2，极小值为f（2）=-2，
故函数f（x）的零点有3个，设分别为x₁，x₂，x₃，则由三次函数的图象特征可得，-2＜x₁＜0，0＜x₂＜2，x₃＞2．
由此可得t³-3t²+2=0 有3个实数根，且-2＜t₁＜0，0＜t₂＜2，t₃＞2．
由于函数y=f（t）的图象和直线y=t₁ （最下边的蓝线）的交点有3个，
函数y=f（t）的图象和直线y=t₂ （中间的蓝线）的交点有3个，
函数y=f（t）的图象和直线y=t₃（最上边的蓝线）的交点个数为1，
故满足 t³-3t²+2=0的x值共有7个，
故答案为：7．

点评：本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，三次函数的图象特征，属于中档题．