Question

已知函数．

(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数；

(Ⅱ)若函数在处取得极值，且对,恒成立，

求实数的取值范围；

(Ⅲ)当且时，试比较的大小．

Answer 1

解：(Ⅰ)，
当时，在上恒成立，函数 在单调递减，
∴在上没有极值点；
当时，得，得，
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，
当时，在上有一个极值点．……… 4分
(Ⅱ)∵函数在处取得极值，
∴，
∴，
令，可得在上递减，在上递增，
∴，即．……… 9分
(Ⅲ)解：令，
由(Ⅱ)可知在上单调递减，则在上单调递减
∴当时，>，即．
当时，
∴，
当时，
∴          ……… 14分