Question

设数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n=

1

3

(an-1+2an-2)(n∈N*且n≥3)，bn=

1n为奇数 -1n为偶数

（1）求a_n；
（2）若c_n=na_nb_n，n∈N^*，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据条件可知数列{a_n+1-a_n}是首项为1，公比为-

2

3

的等比数列，然后求出a_n+1-a_n的通项，最后利用叠加法求出通项a_n；
（2）先求出{c_n}的通项，然后讨论n的奇偶，分别求和，求和时部分利用错位相消法进行求和即可，最后利用分段形式表示即可．

解答：解：（1）由an=

1

3

(an-1+2an-2)得，an-an-1=-

2

3

(an-1-an-2)
又a₂-a₁=1≠0∴

an-an-1

an-1-an-2

=-

2

3

(n∈N*，n≥3)
∴数列{a_n+1-a_n}是首项为1，公比为-

2

3

的等比数列…（3分）∴an+1-an=(-

2

3

)n-1
从而，an-an-1=(-

2

3

)n-2an-1-an-2=(-

2

3

)n-3…a₂-a₁=1
以上各式相加得，an-a1=1+(-

2

3

)+…+(-

2

3

)n-2=

1-(- 2 3 )n-1

1+ 2 3

∴an=

8

5

-

3

5

(-

2

3

)n-1…（6分）
（2）∵bn=

1n为奇数 -1n为偶数

，且c_n=na_nb_n，n∈N^*
∴cn=

8 5 n- 3 5 (- 2 3 )n-1n，n为奇数 - 8 5 n+ 3 5 (- 2 3 )n-1n，n为偶数

…（8分）
又S_n=c₁+c₂+…c_n∴当n为奇数时，
Sn=(

8

5

-2×

8

5

+3×

8

5

-4×

8

5

+…+n×

8

5

)-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+…+n×(

2

3

)n-1]
=

4

5

(1+n)-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+…+n×(

2

3

)n-1]
当n为偶数时，
Sn=(

8

5

-2×

8

5

+3×

8

5

-4×

8

5

+…-n×

8

5

)-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+…+n×(

2

3

)n-1]
=-

4

5

n-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+…+n×(

2

3

)n-1]…（10分）
令T_n=1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+…+n×(

2

3

)n-1…（1）

2

3

Tn=1×(

2

3

)1+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3+…+n×(

2

3

)n…（2）
则由（1）（2）得，

1

3

Tn=1+(

2

3

)+(

2

3

)2+(

2

3

)3+…+(

2

3

)n-1-n(

2

3

)n=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

-n(

2

3

)n
∴Tn=9-(9+3n)(

2

3

)n
故Sn=

4n-23 5 + 27+9n 5 ( 2 3 )n，n为奇数 - 4n+27 5 + 27+9n 5 ( 2 3 )n，n为偶数

…（16分）

点评：本题主要考查了构造数列、叠加法和错位相消法的应用，是一道综合题，同时考查了计算能力，属于中档题．