Question

为了解我县中学生的体质状况，对天义地区部分中学生进行了身高、体重和肺活量的抽样调查．现随机抽取100名学生，测得其身高情况如下表所示．

分组	频数	频率
[155，160）	①	0.050
[160，165）	20	0.200
[165，170）	②	③
[170，175）	30	0.300
[175，180）	10	0.100
合计	100	1.00

（1）请在频率分布表中的①、②、③位置填上相应的数据，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；
（2）若按身高分层抽样，抽取20人参加庆“五一”全民健身运动，其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于165cm”的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）利用频数=频率×容量即可得出，利用频率和为可得③处的频数，利用众数的定义即可得出．根据频率及其纵坐标为

频率

组距

即可补全频率分布直方图．
（2）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于165cm”的有5人．可得ξ的可能的值为0，1，2，3，利用古典概型的概率计算公式即可得出，进而得出分布列及其数学期望．

解答： 解：（1）①处的频数=100×0.050=5，同理可得②③处的分别为35、0.350，众数是167.5cm，
补全频率分布直方图；
（2）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于165cm”的有5人．
∴ξ的可能的值为0，1，2，3，
则P(ξ=0)=

C 3 15

C 3 20

=

91

278

；P(ξ=1)=

C 2 15 • C 1 5

C 3 20

=

35

76

；
P(ξ=2)=

C 1 15 • C 2 5

C 3 20

=

5

38

；P(ξ=3)=

C 3 5

C 3 20

=

1

114

；
其分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	91 278	35 76	5 38	1 114

Eξ=0×

91

278

+1×

35

76

+2×

5

38

+3×

1

114

=

57

76

=

3

4

．

点评：本题考查了频率分布直方图、古典概型的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．