Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一段图象（如图所示） 
（1）求其解析式；
（2）令g（x）=

f2(x)-2f(x)+2

f(x)-1

，当x∈[0，

π

4

]时，求g（x）的最大值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,不等式

分析：（1）首先根据函数的图象求出A、ω，φ的值，进一步确定函数的解析式．
（2）利用函数的变换求出g（x）的解析式，进一步利用单调性求出最值．

解答： 解：（1）利用函数的图象：

3T

4

=

7π

8

-

π

8

=

3π

4

所以：T=π
求得：ω=2
将点(

7π

8

，0)代入sin（

14π

8

+φ）=0
解得：φ=-

7π

4

+2kπ（k∈Z）
由于：|φ|＜

π

2

解得：φ=

π

4

将点（0，

2

）代入关系式：解得：A=2
所以：f（x）=2sin（2x+

π

4

）
（2）令g（x）=

f2(x)-2f(x)+2

f(x)-1

=f(x)-1+

1

f(x)-1

设m=f（x）-1=2sin（2x+

π

4

）-1
则：g（x）=m+

1

m

当0≤x≤

π

4

时，

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

所以：

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1

2

-1≤m≤1
由于g（x）=m+

1

m

在[

2

-1，1]上是减函数
则：当x=0或

π

4

时，g(x)取最大值．
g（x）_max=2

2

点评：本题考查的知识要点：三角函数解析式的求法，及三角函数的最值问题，函数的单调性的应用．属于基础题型．