Question

已知F₁是椭圆5x²+9y²=45的左焦点，P为椭圆上半部分任意一点，A（1，1）为椭圆内一点，求|PA|+|PF₁|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆5x²+9y²=45的方程化为

x2

9

+

y2

5

=1，可得F₁（-2，0），F₂（2，0），由椭圆的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2a，可得|PA|+|PF₁|=|PA|+2a-|PF₂|=2a-（|PF₂|-|PA|）≥2a-|AF₂|．

解答： 解：由椭圆5x²+9y²=45的方程化为

x2

9

+

y2

5

=1，可得F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴|AF₂|=

(1-2)2+(1-0)2

=

2

．
如图所示．
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
∴|PA|+|PF₁|=|PA|+6-|PF₂|=6-（|PF₂|-|PA|）≥6-|AF₂|=6-

2

．当且仅当三点P，A，F₂共线时取等号．
∴|PA|+|PF₁|的最小值为6-

2

．
故答案为：6-

2

．

点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、两点之间的距离公式、三角形三边大小关系、三点共线，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．