Question

在平面斜坐标系xOy中，x轴方向水平向右，y轴指向左上方，且∠xOy=

2π

3

．平面上任一点P关于斜坐标是这样定义的：若

OP

=x

e1

+y

e2

（其中向量

e1

，

e2

分别为x轴、y轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为（x，y）．
（1）若P点斜坐标为（2，2），则P点到O点的距离为

 

；
（2）以O为顶点，直角坐标F（1，0）为焦点，x轴为对称轴的抛物线在斜坐标系xOy中的方程为

 

．

Answer 1

考点：坐标系的选择及意义

专题：平面向量及应用,坐标系和参数方程

分析：（1）利用数量积的定义及其运算性质即可得出；
（2）如图所示，抛物线在直角坐标系xoy′中的方程为：（y′）²=4x′．设点P在斜坐标系xoy与直角坐标系xoy′中的坐标分别为P（x′，y′），P（x，y）．则

x′=x y′=ysin 2π 3

，代入方程（y′）²=4x′即可得出．

解答： 解：（1）|

e1

|=|

e2

|=1，

e1

•

e2

=1×1×cos

2π

3

=-

1

2

．
∵P点斜坐标为（2，2），∴

OP

=2

e1

+2

e2

，
∴

OP

2=4

e1

2+4

e2

2+8

e1

•

e2

=8-8×

1

2

=4，∴|

OP

|=2．
（2）如图所示，
抛物线在直角坐标系xoy′中的方程为：（y′）²=4x′．
设点P在斜坐标系xoy与直角坐标系xoy′中的坐标分别为P（x′，y′），
P（x，y）．
则

x′=x y′=ysin 2π 3

，代入方程：（y′）²=4x′．
化为

3

4

y2=4x，化为y2=

16

3

x．
故答案分别为：2，y2=

16

3

x．

点评：本题考查了斜坐标系与直角坐标系之间的变换、向量的数量积运算，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．