Question

4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？（用数字作答）
（1）教师必须坐在中间；
（2）教师不能坐在两端，但要坐在一起；
（3）教师不能坐在两端，且不能相邻．

Answer 1

【答案】分析：（1）先排4位学生，由排列公式可得有A₄⁴种坐法，2位教师坐在中间位置，可以交换位置，有A₂²种坐法，由分步计数原理计算可得答案；
（2）先排4位学生，由排列公式可得其坐法数目，要求2位教师坐在一起，用捆绑法，插入到4个学生符合要求的3个空位中，易得其有2A₃¹种坐法，由分步计数原理计算可得答案；
（3）先排4位学生，由排列公式可得其坐法数目，根据题意，将2名教师插在4个学生符合要求的3个空位中，有A₃²种坐法，由分步计数原理计算可得答案．
解答：解：（1）先排4位学生，有A₄⁴种坐法，
2位教师坐在中间，可以交换位置，有A₂²种坐法，
则共有A₂²A₄⁴=48种坐法；
（2）先排4位学生，有A₄⁴种坐法，
2位教师坐在一起，将其看成一个整体，可以交换位置，有2种坐法，
将这个“整体”插在4个学生的空位中，又由教师不能坐在两端，则有3个空位可选，
则共有2A₄⁴A₃¹=144种坐法；
（3）先排4位学生，有A₄⁴种坐法，
教师不能相邻，将其依次插在4个学生的空位中，
又由教师不能坐在两端，则有3个空位可选，有A₃²种坐法，
则共有A₄⁴A₃²=144种坐法．．
点评：本题考查排列、组合的运用，关键在于掌握常见的问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法．