Question

已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的值．

Answer 1

（1）见解析
（2）

（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。
（2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。
从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出
解：（1）∵，∴。
∴ 。
∴   。
∴数列是以1 为公差的等差数列。
（2）∵，∴。
∴。（﹡）
设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明
若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。
若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。
∴综上所述，。∴，∴。
又∵，∴是公比是的等比数列。
若，则，于是。
又由即，得。
∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。
∴。
∴
【考点定位】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用，指数幂和根式的互化，数列通项公式的求解，注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题，从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点、重点问题，在训练时，要引起足够的重视。