Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3
（I）若对?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；
（II）证明：x∈（0，+∞）时exlnx≥1-

2ex-1

x

．

Answer 1

分析：（I）分离出参数a，构造函数h（x）=

x2+3+2xlnx

x

，通过导数求出h（x）的单调性，进一步求出函数的最小值，得到a的范围；
（II）将要证的不等式等价转化为xlnx≥

x

ex

-

2

e

，求不等式左边的函数的最小值，和不等式右边函数的最大值，得到左边的最小值等于右边的最大值，不等式得证．

解答：解：（Ⅰ）由2f（x）≥g（x）得2xlnx≥-x²+ax-3，由于x＞0
则a≤

x2+3+2xlnx

x

，设h（x）=

x2+3+2xlnx

x

，
h′(x)=

x2+2x-3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增，
因而h（1）最小为4，那么a≤4；
（II）要证明，exlnx≥1-

2ex-1

x

，即证xlnx≥

x

ex

-

2

e

，
∵f′（x）=lnx+1=0时x=

1

e

，f（x）的最小值为f（

1

e

)=-

1

e

=-

1

e

，
设φ（x）=

x

ex

-

2

e

，
φ′（x）=

ex-xex

e2x

=0时x=1，φ（x）的最大值为φ（1）=-

1

e

f（x）的最小值不小于φ（x）的最大值，即xlnx≥

x

ex

-

2

e

，
因而exlnx≥1-

2ex-1

x

．

点评：本题考查不等式恒成立求参数的范围，一般的方法是分离参数，转化为求函数的最值；证明不等式常通过构造函数求函数的最值，属于一道难题．