Question

3．已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0相切．
（I）过点G（1，3）作直线与圆C相交，相交弦长为2$\sqrt{3}$，求此直线的方程；
（II）若与直线l₁垂直的直线l不过点R（1，-1），且与圆C交于不同的两点P，Q，若∠PRQ为钝角，求直线l的纵截距的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意求出圆心（0，0）到直线l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0的距离，可得圆的半径长，得到圆的方程，分类讨论，利用弦长，即可得出结论；
（2）直线l₁的斜率为1，且l⊥l₁，可得直线l的斜率为-1，设直线l的方程为y=-x+b，联立圆的方程与直线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得P，Q两点横坐标的和与积，结合∠POQ为钝角，得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，从而可得直线l的纵截距的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，圆心（0，0）到直线l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0的距离为圆的半径长r，
即r=$\frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=2
∴圆C的标准方程为x²+y²=4．
①直线斜率不存在时，x=1满足题意；
②斜率存在时，设直线方程为y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0
∵相交弦长为2$\sqrt{3}$，∴圆心到直线的距离d=$\frac{|3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=$\frac{4}{3}$，
∴直线方程为x=1或4x-3y+5=0；
（2）∵直线l₁的斜率为1，且l⊥l₁，∴直线l的斜率为-1，设直线l的方程为y=-x+b，
则与圆C的方程x²+y²=4 联立，化简得2x²-2bx+b²-4=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程2x²-2bx+b²-4=0的两个不同的根，
故x₁+x₂=b，x₁+x₂=$\frac{{b}^{2}-4}{2}$③，
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得-2$\sqrt{2}$＜b＜2$\sqrt{2}$．
∵∠POQ为钝角，∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-b（x₁+x₂）+b²＜＜0  ④，
由③④得b²＜4，即-2＜b＜2，满足△＞0．
当$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$反向共线时，直线y=-x+b过原点，此时b=0，不符合题意，
故直线l的纵截距的取值范围是-2＜b＜2，且b≠0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．