Question

15．已知△ABC中，tanA，tanB是方程x²+ax+4=0的两个实数根：
（1）若a=-8，求tanC的值；
（2）求tanC的最小值，并指出此时对应的tanA，tanB的值．

Answer 1

分析 （1）由根与系数的关系写出tanA+tanB=8，tanAtanB=4；利用三角形内角和定理与两角和的正切公式计算即可；
（2）由△≥0以及根与系数的关系，求出a≤-4；再利用三角形内角和定理与两角和的正切公式，求出tanC的最小值以及此时对应的tanA、tanB的值．

解答 解：（1）a=8时，x²-8x+4=0，
∴tanA+tanB=8，tanAtanB=4；
∴tanC=tan[π-（A+B）]
=-tan（A+B）
=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$
=$\frac{8}{3}$：
（2）由题意，△=a²-16≥0，
解得a≥4或a≤-4；
又tanAtanB=4＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{tanA＞0}\\{tanB＞0}\end{array}\right.$，
∴tanA+tanB=-a＞0，
∴a＜0，
即a≤-4；
∴tanC=-tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$=$\frac{-a}{3}$≥$\frac{4}{3}$，
∴tanC的最小值是$\frac{4}{3}$，此时对应的tanA=tanB=2．

点评 本题考查了根与系数的关系以及三角形内角和定理与两角和的正切公式应用问题，是基础题．