Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为，是椭圆上的点，且的面积为。

（1）求椭圆的方程；

（2）若斜率为且在轴上的截距为的直线与椭圆相交于两点，若椭圆上存在点，满足，其中是坐标原点，求的值。

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）利用已知条件列出椭圆几何量的方程组，求解a，b，即可求椭圆C的方程；

（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合向量关系，推出结果即可．

（1）∵△PF1F2的面积为，∴×2c×＝，即c＝1，

由，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为+y2＝1；

（2）由题意可得l：y＝k（x﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），

由，消y可得（1+2k2）x2﹣8kx+8k2﹣2＝0，

∴△＝64k2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，可得k2＜，

∴x1+x2＝，x1x2＝，

∵，∴＝3﹣3（﹣），即＝（+），

∴（x，y）＝（x1+x2，y1+y2），∴x＝（x1+x2）＝

y＝[k（x1+x2）﹣4k]＝，∴Q（，），∵点Q在椭圆C上，

∴+2＝2，∴9k2＝1+2k2，解得k＝±．