Question

已知函数f（x）=e^x-mx
（1）当m=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点，求m的取值范围；
（3）证明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+(

3

n

)n+…+(

n

n

)n＜

e

e-1

．

Answer 1

分析：（1）当m=1时，f′（x）=e^x-1，当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，由此能求出当m=1时，函数f（x）的最小值．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，得m=

ex-lnx+x2

x

，令h（x）=

ex-lnx+x2

x

，由此能求出函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点时m的取值范围．
（3）由（1）可得e^x≥x+1，令x=1=

k

n

，则x=

k

n

-1，从而e k-n≥(

k

n

)n，分别令k=1，2，3，..，n．利用等比数列求和公式和放缩法，可证明结论．

解答：解：（1）当m=1时，f（x）=e^x-x，
∴f′（x）=e^x-1，
当x＜0时，f′（x）＜0，
当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（x）=1．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，
得m=

ex-lnx+x2

x

，
令h（x）=

ex-lnx+x2

x

，
则h′（x）=

(x-1)ex+lnx+x2-1

x2

，
观察得x=1时，h′（x）=0．
当x＞1时，h′（x）＞0，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（1）=e+1，
∴函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点时m的取值范围是（e+1，+∞）．
（3）由（1）知e^x-x≥1，∴e^x≥x+1，令x=1=

k

n

，则x=

k

n

-1，
∴e 

k

n

-1≥

k

n

，∴e k-n≥(

k

n

)n
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+(

3

n

)n+…+(

n

n

)n≤e^1-n+e^2-n+…+1=

1-( 1 e )n

1- 1 e

＜

e

e-1

所以(

1

n

)n+(

2

n

)n+(

3

n

)n+…+(

n

n

)n＜

e

e-1

．        （14分）

点评：本题考查函数最小值的求法、函数存在两个零点时求m的两个取值范围、等比数列求和公式，用放缩法证明不等式．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的应用．