Question

10．如图，正四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的$\sqrt{2}$倍，CD=$\sqrt{2}$，点P在侧棱SD上，且SP=3PD．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）求三棱锥P-ACD的体积．

Answer 1

分析 （1）先证明AC⊥面SBD，然后利用线面垂直的性质证明AC⊥SD；
（2）在OD边上找一点Q，连接PQ，使PQ∥SO．由已知，SO⊥底面ABCD，可得PQ⊥底面ABCD，求出PQ，即可求三棱锥P-ACD的体积．

解答 （1）证明：设AC的中点为O，连接OD，OS．
由已知，AC⊥OD，SO⊥底面ABCD，
∵AC?平面ABCD，
∴SO⊥AC，
又∵SO∩DO=O，
∴AC⊥平面SOD，
∵SD?平面SOD，
∴AC⊥SD．…（6分）
（2）解：在OD边上找一点Q，连接PQ，使PQ∥SO．
由已知，SO⊥底面ABCD，
∴PQ⊥底面ABCD，…（8分）
又由已知$CD=\sqrt{2}，AC=SC=AS=2$，
则$OS=\sqrt{S{D^2}-O{D^2}}=\sqrt{3}$
∵△SDO∽△PDQ，且SP=3PD，
∴$PQ=\frac{1}{4}SO=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}AC•CD=1$，
∴${V_{P-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•PQ=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．…（12分）

点评 本题主要考查线面平行的判定，考查三棱锥P-ACD的体积．要求熟练掌握线面平行的判定定理．