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动点的坐标在其运动过程中
总满足关系式.
(1)点的轨迹是什么曲线?请写出它的标准方程;
(2)已知直线的轨迹交于A、B两点,且OA⊥OB(O为原点),求 的值.
(1)(6分)椭圆:
(2) 

分析:(1)根据,可得(x,y)与(-,0),(,0)的距离之和等于常数4,由椭圆的定义可知点M的轨迹,从而可得椭圆的方程;
(2)直线y=x+t与M的轨迹方程联立,消去y,利用韦达定理及OA⊥OB,即可求得t的值。
解答:
(1)∵
∴(x,y)与(-,0),(,0)的距离之和等于常数4,
由椭圆的定义可知:此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且a=2,c=
∴b=1,故椭圆的方程为:x2/4+y2=1;
(2)直线y=x+t与M的轨迹方程联立,消去y可得5x2+8tx+4t2-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8t/5,x1x2=(4t2-4)/5,
∴y1y2=(x1+t)(x2+t)=-4/5+1/5t2
∵OA⊥OB
∴x1x2+y1y2=(4t2-4)/5-4/5+1/5t2=0

点评:本题考查轨迹方程,考查直线与椭圆的位置关系,求得椭圆的方程,正确运用韦达定理是关键。
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