Question

【题目】已知函数（且）

（1）若，求函数的单调区间；

（2）当时，设，若有两个相异零点，求证： .

Answer 1

【答案】(1) 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）由知分， 两种情况讨论即得解；（2），设的两个相异零点为，设，因为， ，所以， ，相减得，相加得.要证，即证，即，即，换元设上式转化为.构造函数

求导研究单调性即可得证.

试题解析：

（1）由知

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.

（2），设的两个相异零点为，

设，

∵， ，

∴， ，

∴， .

要证，即证，

即，即，

设上式转化为.

设，∴，∴在上单调递增，

∴，∴，∴.