Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，直线l：x+my=

3

恒过椭圆的右焦点F₂，且与椭圆交于P，Q两点，已知△F₁PQ的周长为8，点O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+t与椭圆C交于M，N两点，以线段OM，ON为邻边作平行四边形OMGN
其中G在椭圆C上，当

1

2

≤|t|≤1时，求|OG|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由直线l：x+my=

3

恒过定点(

3

，0)，可得c=

3

．由△F₁PQ的周长为8，可得4a=8，再利用b²=a²-c²，即可得出椭圆的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立化为（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，由△＞0，可得4k²+1＞t²．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（x₀，y₀），利用根与系数的关系及其向量平行四边形法则可得x0=x1+x2=

-8kt

1+4k2

，y₀=y₁+y₂=

2t

1+4k2

，可得G(

-8kt

1+4k2

，

2t

1+4k2

)，由于G在椭圆C上，代入椭圆方程可得4t²=4k²+1，可得|OG|²=

x

2 0

+

y

2 0

=4-

3

4t2

，利用

1

2

≤|t|≤1，即可得出．

解答： 解：（1）∵直线l：x+my=

3

恒过定点(

3

，0)，
∴椭圆的右焦点F₂(

3

，0)．∴c=

3

．
∴△F₁PQ的周长为8，∴4a=8，解得a=2，
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）联立

y=kx+t x2 4 +y2=1

，化为（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
由△=64k²t²-4（1+4k²）（4t²-4）＞0，可得4k²+1＞t²．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（x₀，y₀），则x1+x2=-

8kt

1+4k2

，
∵四边形OMGN是平行四边形，∴x0=x1+x2=

-8kt

1+4k2

，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t=kx₀+2t=

2t

1+4k2

，
可得G(

-8kt

1+4k2

，

2t

1+4k2

)，
∵G在椭圆C上，∴

( -8kt 1+4k2 )2

4

+(

2t

1+4k2

)2=1，化为4t²（4k²+1）=（4k²+1）²，
∴4t²=4k²+1，
∴|OG|²=

x

2 0

+

y

2 0

=(

-8kt

1+4k2

)2+(

2t

1+4k2

)2=

4t2(16k2+1)

(4k2+1)2

=

16t2-3

4t2

=4-

3

4t2

，
∵

1

2

≤|t|≤1，∴

1

4

≤t2≤1，
∴(4-

3

4t2

)∈[1，

13

4

]，
∴|OG|的取值范围是[1，

13

2

]．

点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的平行四边形法则、点与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．