Question

已知正数数列{a_n}中，a₁=1，且关于x的方程x²+

an

x+

1

2

（a_n-1+2^n-1）=0（n∈N^*，n≥2）有两个相等的实根
（1）求证：数列{

an

2n

}是等差数列
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据判别式△=0，得到数列的递推关系，利用构造法结合等差数列的定义即可证明数列{

an

2n

}是等差数列．
（2）根据数列{

an

2n

}是等差数列，求出数列{

an

2n

}的通项公式即可．

解答： 解：（1）若关于x的方程x²+

an

x+

1

2

（a_n-1+2^n-1）=0（n∈N^*，n≥2）有两个相等的实根，
则判别式△=（

an

）²-4×

1

2

（a_n-1+2^n-1）=0，
即a_n-2（a_n-1+2^n-1）=0，
即a_n=2a_n-1+2ⁿ，
则

an

2n

=

2an-1

2n

+1=

an-1

2n-1

+1，
即

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
故数列{

an

2n

}是等差数列，公差为1．
（2）∵数列{

an

2n

}是等差数列，公差为1，首项为

a1

2

=

1

2

，
∴

an

2n

=

1

2

+n-1=n-

1

2

，
则a_n=2ⁿ（n-

1

2

）．

点评：本题主要考查递推数列的应用，根据条件结合判别式△=0，利用构造法是解决本题的关键．