Question

函数y=ax²+（2a-1）x-3在区间[-

3

2

，2]上的最大值是3，则实数a=

 

．

Answer 1

分析：因二次项的系数是参数，故分三种情况求解；a=0时，函数y=-x-3是一次函数且为减函数，求出最大值与题意不符故舍去，当a＞0和a＜0时函数是二次函数，求出对称轴再根据对称轴与定区间的位置关系进行二次分类，再由二次函数的开口方向和对称轴与定区间的位置关系求出最大值，注意验证范围．

解答：解：如a=0时，函数y=-x-3在区间[-

3

2

，2]上的最大值为-

3

2

，不符合题意，故舍去；
若a＞0，则函数图象对称轴是x=-1+

1

2a

，
由于区间[-

3

2

，2]的中点是

1

4

，则按以下进行讨论：
当-1+

1

2a

≤

1

4

时，即a≥

2

5

，函数的最大值是f（2）=a•2²+（2a-1）•2-3=3，解得a=1；
当

1

4

＜-1+

1

2a

＜2时，即

1

6

＜a＜

2

5

，函数的最大值是f（-

3

2

）=a•(

3

2

)2-(2a-1)•

3

2

-3=3，
解得a=-6，故舍去．
当-1+

1

2a

≥2时，即0＜a≤

1

6

，函数的最大值是f（-

3

2

）=a•(

3

2

)2-(2a-1)•

3

2

-3=3，
解得a=-6，故舍去．
若a＜0，-1+

1

2a

＜0，当-1+

1

2a

≥-

3

2

时，即a≤-1，
函数的最大值是f（-1+

1

2a

）=a（-1+

1

2a

）（-1+

1

2a

）+（2a-1）（-1+

1

2a

）-3=3，
解得4a²+20a+1=0，即a=-

5

2

+

6

或a=-

5

2

-

6

，故a=-

5

2

-

6

；
当-1+

1

2a

＜-

3

2

时，即-1＜a＜0，
函数的最大值是f（-

3

2

）=a•(

3

2

)2-(2a-1)•

3

2

-3=3，解得a=-6，故舍去．
综上，a的值为：1或-

5

2

-

6

．

点评：本题考查了含有参数的二次函数在定区间上的最值问题，分类的标准是：二次项的系数与零关系，根据对称轴与定区间的位置关系；再结合二次函数的图象求出对应的最值，注意范围的验证．