Question

若f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：导数的综合应用

分析：根据对称性求出a，b，利用导数研究函数的最值即可．

解答： 解：∵f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=2对称，
∴f（1）=f（3），f（-1）=f（5），
即

9+3a+b=0 25+5a+b=0

，解得a=-8，b=15，
即f（x）=（1-x²）（x²-8x+15）=-x⁴+8x³-14x²-8x+15，
则f′（x）=-4x³+24x²-28x-8=-4（x-2）（x²-4x-1），
由f′（x）=0，解得x=2或x=2+

5

或x=2-

5

，
由f′（x）＞0，解得2＜x＜2+

5

或x＜2-

5

，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得2-

5

＜x＜2或x＞2+

5

，此时函数单调递减，
作出对应的函数图象如图：
则当x=2+

5

或2+

5

时，函数f（x）取得极大值同时也是最大值
则f（2+

5

）=16，
故答案为：16

点评：本题主要考查函数最值的区间，根据对称性求出a，b的值，利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，综合性较强，难度较大．