Question

【题目】设向量 ， ，x∈R，记函数 ．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 ， ，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =sinxcosx+ （sinx﹣cosx）（sinx+cosx）= sin2x﹣ cos2x=sin（2x﹣ ），

∴令2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：∵ ，

∴sin（2A﹣ ）= ，结合△ABC为锐角三角形，可得：2A﹣ = ，

∴A= ，

∵在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：2=b2+c2﹣ bc≥（2﹣ ）bc，（当且仅当b=c时等号成立）

∴bc≤ =2+ ，

又∵sinA=sin = ，

∴S△ABC= bcsinA= bc≤ （2+ ）= ，（当且仅当b=c时等号成立）

∴△ABC面积的最大值为

【解析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=sin（2x﹣ ），令2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（2）由已知可求sin（2A﹣ ）= ，结合△ABC为锐角三角形，可得A，利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2+ ，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解余弦定理的定义(余弦定理:;;)．