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已知函数是增函数,在(0,1)为减函数.
(I)求的表达式;
(II)求证:当时,方程有唯一解;
(Ⅲ)当时,若内恒成立,求的取值范围.

(I)(II)由(1)可知,方程,
,
,并由解知;(III)

解析试题分析:(I)依题意,即,.
∵上式恒成立,∴  ①                 …………………………1分
,依题意,即,.
∵上式恒成立,∴   ②                …………………………2分
由①②得.                     …………………………3分
            …………………………4分
(II)由(1)可知,方程,
,
,并由解知  ………5分
                 …………………………6分
列表分析:


(0,1)
1
(1,+¥)

-
0
+

递减
0
递增
处有一个最小值0,            …………………………7分
时,>0,∴在(0,+¥)上只有一个解.
即当x>0时,方程有唯一解.   ……………………8分
(III)设, ……9分
为减函数 又     …………11分
所以:为所求范围.               ………………12分
考点:本题考查了导数的运用
点评:导数的应用是高考的一个重点,利用导数求最值及判断函数的单调性比用定义法要简单的多,要注意利用这个工具

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题共8分)
提高二环路的车辆通行能力可有效改善整个城区的交通状况,在一般情况下,二环路上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数。当二环路上的车流密度达到600辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过60辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当60≤x≤600时,车流速度v是车流密度x的一次函数。
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(Ⅱ)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过二环路上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值。(精确到1辆/小时)

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(2)求函数在区间上的最大值和最小值;
(3)是否存在实数使的定义域和值域分别为,如果存在,求出的值,如不存在,请说明理由.

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如图建立平面直角坐标系轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在表示的曲线上,其中与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

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(满分12分)
已知二次函数满足:,且
解集为
(1)求的解析式;
(2)设,若上的最小值为-4,求的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本题满分13分)设函数,且,求证:(1)
(2)函数在区间内至少有一个零点;
(3)设是函数的两个零点,则.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

某工厂每天生产某种产品最多不超过40件,并且在生产过程中产品的正品率与每日生产产品件数()间的关系为,每生产一件正品盈利4000元,每出现一件次品亏损2000元.
(注:正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%)
(1)将日利润(元)表示成日产量(件)的函数;
(2)求该厂的日产量为多少件时,日利润最大?并求出日利润的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分12分)(1)计算: 
(2)化简:

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本题满分12分)已知函数在点处取得极小值-4,使其导函数的取值范围为(1,3)
(Ⅰ)求的解析式及的极大值;
(Ⅱ)当时,求的最大值。

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