已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.
(I)求、的表达式;
(II)求证:当时,方程有唯一解;
(Ⅲ)当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.
(I)(II)由(1)可知,方程,
设,
令,并由得解知;(III)
解析试题分析:(I)依题意,即,.
∵上式恒成立,∴ ① …………………………1分
又,依题意,即,.
∵上式恒成立,∴ ② …………………………2分
由①②得. …………………………3分
∴ …………………………4分
(II)由(1)可知,方程,
设,
令,并由得解知 ………5分
令由 …………………………6分
列表分析:
知在处有一个最小值0, …………………………7分(0,1) 1 (1,+¥) - 0 + 递减 0 递增
当时,>0,∴在(0,+¥)上只有一个解.
即当x>0时,方程有唯一解. ……………………8分
(III)设, ……9分
在为减函数 又 …………11分
所以:为所求范围. ………………12分
考点:本题考查了导数的运用
点评:导数的应用是高考的一个重点,利用导数求最值及判断函数的单调性比用定义法要简单的多,要注意利用这个工具
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题共8分)
提高二环路的车辆通行能力可有效改善整个城区的交通状况,在一般情况下,二环路上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数。当二环路上的车流密度达到600辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过60辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当60≤x≤600时,车流速度v是车流密度x的一次函数。
(Ⅰ)当0≤x≤600时,求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过二环路上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值。(精确到1辆/小时)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知二次函数为常数,且)满足条件:,且方程有两个相等的实数根.
(1)求的解析式;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值;
(3)是否存在实数使的定义域和值域分别为和,如果存在,求出的值,如不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在表示的曲线上,其中与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某工厂每天生产某种产品最多不超过40件,并且在生产过程中产品的正品率与每日生产产品件数()间的关系为,每生产一件正品盈利4000元,每出现一件次品亏损2000元.
(注:正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%)
(1)将日利润(元)表示成日产量(件)的函数;
(2)求该厂的日产量为多少件时,日利润最大?并求出日利润的最大值.
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