Question

（本题满分13分）设函数，且，，求证：（1）且；
（2）函数在区间内至少有一个零点；
（3）设是函数的两个零点，则.

Answer 1

（1）根据，求出，再根据即可得证；（2）先求出和，根据零点存在定理分和讨论即可得证；
（3）利用韦达定理和第（1）问的结论即可得证.

解析试题分析：(1),,
又，,，                                ……2分
又.            ……4分
（2）
①当时，，
函数在区间内至少有一个零点
②当时，，，
函数在区间内至少有一个零点
综上所述：函数在区间内至少有一个零点。                    ……8分
（3）是函数的两个零点，

，.                             ……13分
考点：本小题主要考查不等式的性质、函数的零点存在定理和韦达定理的应用，考查学生的推理论证能力.
点评：证明此类问题时，要充分利用不等式的性质和题设条件，尽量每一步都做到言之有据.