Question

2．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（α）=1+$\sqrt{3}$，且α∈[0，$\frac{π}{2}$]，求α的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的最大、最小值求出b和A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由已知可解得：sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得解得：α=2kπ+$\frac{π}{6}$，α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合范围α∈[0，$\frac{π}{2}$]，即可得解．

解答 解：（1）由函数的图象可得A=$\frac{3-（-1）}{2}$=2，b=3-A=1，
T=$\frac{2π}{ω}$=[$\frac{π}{3}$-（-$\frac{2π}{3}$）]=2π，∴ω=1．
再根（$\frac{π}{3}$，3）在函数图象上，可得2sin（$\frac{π}{3}$+φ）+1=3，由五点法作图求得φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1．
（2）∵f（α）=1+$\sqrt{3}$，
∴2sin（α+$\frac{π}{6}$）+1=1$+\sqrt{3}$．解得：sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：α+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{3}$，或α+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z
∴解得：α=2kπ+$\frac{π}{6}$，α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴解得：$α=\frac{π}{6}$，或$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的图象和性质，由函数的最大、最小值求出k和A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．