Question

10．已知$-\frac{π}{4}$和$\frac{π}{4}$是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的相邻的两个零点．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，若sinBsinCcosA=sin²A，求函数f（A）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得函数f（x）的周期，可得ω值，代入点（-$\frac{π}{4}$，0）可得φ值，可得解析式；
（II）由正、余弦定理可得b²+c²=3a²，可得cosA=$\frac{2}{3}$•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2bc}$，由基本不等式可得其范围，由三角函数的值域可得．

解答 解：（Ⅰ）由题意得函数f（x）的周期T=2[$\frac{π}{4}$-（-$\frac{π}{4}$）]=π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，∴f（x）=sin（2x+φ），
代入点（-$\frac{π}{4}$，0）可得0=sin（-$\frac{π}{2}$+φ），
∴-$\frac{π}{2}$+φ=kπ，∴φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z
又0＜φ＜π，∴φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x；
（II）∵在△ABC中，若sinBsinCcosA=sin²A，
∴由正弦定理可得bccosA=a²，
再由余弦定理可得bc•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=a²，
整理可得b²+c²=3a²，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-\frac{1}{3}（{b}^{2}+{c}^{2}）}{2bc}$
=$\frac{2}{3}$•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2bc}$≥$\frac{2}{3}$•$\frac{2bc}{2bc}$=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{2}{3}$≤cosA＜1，
∴f（A）=cos2A=2cos²A-1∈[-$\frac{1}{9}$，1），
故f（A）的值域为∈[-$\frac{1}{9}$，1）

点评 本题考查解三角形，涉及正弦函数的图象性质和正余弦定理以及基本不等式，属中档题．