Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

1

4

，2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若数列{b_n}满足b₁=

3

4

，且3bn-bn-1=n（n≥2），证明：{b_n-a_n}为等比数列，并求{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥2时，由已知得，2S_n-2S_n-1=2a_n=2a_n-1+1，可得{a_n}是以

1

4

为首项，

1

2

为公差的等差数列，即可求出数列{a_n}的通项公式
（2）证明

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

，可得：{b_n-a_n}为等比数列，即可求{b_n}的通项公式．

解答： （1）解：当n≥2时，由已知得，2S_n-2S_n-1=2a_n=2a_n-1+1…（2分）
∴an-an-1=

1

2

，∴{a_n}是以

1

4

为首项，

1

2

为公差的等差数列，…（4分）
∴an=

1

4

+

1

2

(n-1)=

2n-1

4

…（6分）
（2）证明：∵3b_n=b_n-1+n（n≥2），
∴3bn-3an=bn-1+n-

3(2n-1)

4

=bn-1+

-2n+3

4

=bn-1-

2(n-1)-1

4

=bn-1-an-1…（9分）
∴

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

，
∴{b_n-a_n}为等比数列．                             …（10分）
又∵b1-a1=

1

2

∴bn-an=

1

2

•

1

3n-1

，
∴bn=

1

2

•

1

3n-1

+

2n-1

4

=

1

4

[(2n-1)+2•31-n]…（12分）

点评：本题考查等差数列、等比数列的证明，考查数列的通项，证明等差数列、等比数列是关键．