精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
飞船返回仓顺利到达地球后,为了及时将航天员救出,地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心(记为A,B,C),B在A的正东方向,相距6km,C在B的北偏东30°,相距4km,P为航天员着陆点,某一时刻A接到P的求救信号,由于B、C两地比A距P远,因此4s后,B、C两个救援中心才同时接收到这一信号,已知该信号的传播速度为1km/s.
(1)求A、C两个救援中心的距离;
(2)求在A处发现P的方向角;
(3)若信号从P点的正上方Q点处发出,则A、B收到信号的时间差变大还是变小,并证明你的结论.
分析:(1)首先以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,求出A,B,C的坐标,然后求出AC的距离即可.
(2)根据|PC|=|PB|得出P在BC线段的垂直平分线上,建立双曲线方程,并求出∠PAB.
(3)设|PQ|=h,|PB|=x,|PA|=y,建立不等式,并求解,得到A、B收到信号的时间差变小
解答:精英家教网精英家教网解:(1)以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
A(-3,0),B(3,0),C(5,2
3
)

|AC|=
(5+3)2+(2
3
)
2
=2
19
km

即A、C两个救援中心的距离为2
19
km


(2)∵|PC|=|PB|,所以P在BC线段的垂直平分线上
又∵|PB|-|PA|=4,所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上,且|AB|=6
∴双曲线方程为
x2
4
-
y2
5
=1 (x<0)

BC的垂直平分线的方程为x+
3
y-7=0

联立两方程解得:x=-8∴P(-8,5
3
),kPA=tan∠PAB=-
3

∴∠PAB=120°所以P点在A点的北偏西30°处

精英家教网(3)如图,设|PQ|=h,|PB|=x,|PA|=y
|QB|-|QA|=
x2+h2
-
y2+h2

=
x2-y2
x2+h2
+
y2+h2
=(x-y)•
x+y
x2+h2
+
y2+h2

又∵
x+y
x2+h2
+
y2+h2
<1

∴|QB|-|QA|<|PB|-|PA|∴
|QB|
1
-
|QA|
1
|PB|
1
-
|PA|
1

即A、B收到信号的时间差变小
点评:本题考查双曲线方程的应用,涉及到解空间几何体的方法,通过对双曲线知识与立体几何知识的糅合,考查学生对知识的应用能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网某飞船返回仓顺利返回地球后,为了及时救出航天员,地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心(如图1分别记为A,B,C),B地在A地正东方向上,两地相距6km; C地在B地北偏东30°方向上,两地相距4km,假设P为航天员着陆点,某一时刻A救援中心接到从P点发出的求救信号,经过4s后,B、C两个救援中心也同时接收到这一信号,已知该信号的传播速度为1km/s.
(I)求A、C两上救援中心的距离;
(II)求P相对A的方向角;
(III)试分析信号分别从P点处和P点的正上方Q点(如图2,返回仓经Q点垂直落至P点)处发出时,A、B两个救援中心收到信号的时间差的变化情况(变大还是变小),并证明你的结论.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分13分)

        某飞船返回仓顺利返回地球后,为了及时救出航天员,地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心(如图1分别记为A,B,C),B地在A地正东方向上,两地相距6km; C地在B地北偏东方向上,两地相距4km,假设P为航天员着陆点,某一时刻A救援中心接到从P点发出的求救信号,经过4s后,B、C两个救援中心也同时接收到这一信号,已知该信号的传播速度为1km/s。

   (I)求A、C两上救援中心的距离;

   (II)求P相对A的方向角;

   (III)试分析信号分别从P点处和P点的正上方Q点(如图2,返回仓经Q点垂直落至P点)处发出时,A、B两个救援中心收到信号的时间差的变化情况(变大还是变小),并证明你的结论。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

某飞船返回仓顺利返回地球后,为了及时救出航天员,地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心(如图1分别记为A,B,C),B地在A地正东方向上,两地相距6 km; C地在B地北偏东30°方向上,两地相距4 km,假设P为航天员着陆点,某一时刻A救援中心接到从P点发出的求救信号,经过4 s后,B、C两个救援中心也同时接收到这一信号,已知该信号的传播速度为1 km/s.

(1)求A、C两地救援中心的距离;

(2)求P相对A的方向角;

(3)试分析信号分别从P点处和P点的正上方Q点(如图2,返回仓经Q点垂直落至P点)处发出时,A、B两个救援中心收到信号的时间差的变化情况(变大还是变小),并证明你的结论.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011年福建省福州三中高三练习数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

某飞船返回仓顺利返回地球后,为了及时救出航天员,地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心(如图1分别记为A,B,C),B地在A地正东方向上,两地相距6km; C地在B地北偏东30°方向上,两地相距4km,假设P为航天员着陆点,某一时刻A救援中心接到从P点发出的求救信号,经过4s后,B、C两个救援中心也同时接收到这一信号,已知该信号的传播速度为1km/s.
(I)求A、C两上救援中心的距离;
(II)求P相对A的方向角;
(III)试分析信号分别从P点处和P点的正上方Q点(如图2,返回仓经Q点垂直落至P点)处发出时,A、B两个救援中心收到信号的时间差的变化情况(变大还是变小),并证明你的结论.

查看答案和解析>>

同步练习册答案