Question

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ，（x≠0且x≠-1，n∈N^*）
（1）设g（x）=f₃（x）+f₄（x）+…+f₁₀（x），求g（x）中含x³的项的系数．
（2）若f_n（x）=a₀+a₁（x-2）+a₂（x-2）²+…+a_n（x-2）ⁿ，设S_n=

n

i=1

ai，试比较S_n与（n-2）•3ⁿ+（n+1）²的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）根据g（x）=（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）¹⁰，可得含x³的项的系数为

C

3 3

+

C

3 4

+…+

C

3 10

=

C

4 11

，计算求得结果．
（2）在f_n（x）的展开式中，令x=2可得 a₀=3ⁿ，令x=3，可得 a₀+a₁+a₂+…+a_n=4ⁿ，S_n=

n

i=1

ai=4ⁿ-3ⁿ．比较S_n与（n-2）•3ⁿ+（n+1）²的大小，即比较4ⁿ 与（n-1）•3ⁿ+（n+1）²的大小．分别令n=1，2，3，4，5，猜想：当n≥5时，4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）²，再用数学归纳法证明．

解答： 解：（1）∵g（x）=f₃（x）+f₄（x）+…+f₁₀（x）=（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）¹⁰，
∴含x³的项的系数为

C

3 3

+

C

3 4

+…+

C

3 10

=

C

4 11

=330．
（2）∵f_n（x）=a₀+a₁（x-2）+a₂（x-2）²+…+a_n（x-2）ⁿ，令x=2可得 a₀=3ⁿ，
令x=3，可得 a₀+a₁+a₂+…+a_n=4ⁿ，
∴S_n=

n

i=1

ai=4ⁿ-3ⁿ．
比较S_n与（n-2）•3ⁿ+（n+1）²的大小，即比较4ⁿ 与（n-1）•3ⁿ+（n+1）²的大小．
当n=1 时，4ⁿ=（n-1）•3ⁿ+（n+1）²，
当n=2，3，4时，4ⁿ＜（n-1）•3ⁿ+（n+1）²．
当n=5时，4ⁿ=1024，（n-1）•3ⁿ+（n+1）²=1008，4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）²．
猜想：当n≥5时，4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）²．
下面用数学归纳法进行证明：
①当n=5时，不等式 4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）² 成立．
②假设 4^k＞（k-1）•3^k+（k+1）²，则4^k+1=44^k＞4[（k-1）•3^k+（k+1）²]．
由4[（k-1）•3^k+（k+1）²]-[k•3^k+1+（k+2）²]=3^k（k-4）+（3k²+4k），
k≥5，∴k-4＞0，3^k（k-4）+（3k²+4k）＞0，
即4[（k-1）•3^k+（k+1）²]＞[（k+1）-1]3^k+1+[（k+1）+1]²，
故当n=k+1时，不等式也成立，
故当n≥5时，4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）²，
即 S_n≥（n-2）•3ⁿ+（n+1）²．
综上，当n=1时，S_n=（n-2）•3ⁿ+（n+1）²；
当n=2，3，4 时，S_n ＜（n-2）•3ⁿ+（n+1）²；
当n≥5时，S_n＞（n-2）•3ⁿ+（n+1）²．

点评：本题主要考查二项式系数的性质，用数学归纳法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．