Question

已知a，b，c∈N⁺，满足abc（a+b+c）=1．
（1）求S=（a+c）（b+c）的最小值；
（2）当S取最小值时，求c的最大值．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知整理可得，c²+c（a+b）=

1

ab

，然后利用基本不等式可求S的最小值及满足的条件：ab=1，
（2）由1=abc（a+b+c）=c（a+

1

a

+c）=c²+c（a+

1

a

）≥c²+2c，从而可得关于c的不等式，解不等式可求c的范围，即可求出c的最大值．

解答： 解：（1）∵a，b，c∈N⁺，且abc（a+b+c）=1，
∴c²+c（a+b）=

1

ab

∴S=（a+c）（b+c）=ab+（a+b）c+c²=ab+

1

ab

≥2

ab• 1 ab

=2
当且仅当ab=

1

ab

，即ab=1时取等号
∴S_min=2；
（2）由（1）知1=abc（a+b+c）=c（a+

1

a

+c）=c²+c（a+

1

a

）≥c²+2c
∴c²+2c-1≤0
∵c＞0
∴0＜c≤

2

-1
∴c的最大值为

2

-1．

点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解答本题的技巧要注意体会掌握．