Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n＞0，且S_n=

an2+an

2

（n∈N^*）
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n+a_n，求证：数列{b_n+n+1}是等比数列．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据S_n=

an2+an

2

，再写一式，两式相减，可得a_n-a_n-1=1，即可证明数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）设c_n=b_n+n+1，旅游等比数列的定义，即可证明数列{b_n+n+1}是等比数列

解答： 证明：（I）由Sn=

a 2 n +an

2

(n∈N*)知，
当n=1时，2a1=

a

2 1

+a1，解得a₁=1或a₁=0（舍去）…（1分）
当n≥2时，2Sn=

a

2 n

+an…①2Sn-1=

a

2 n-1

+an-1…②…（2分）
①-②得，2an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1，即a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）…（4分）
又∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，…（5分）
∴{a_n}是以1为公差，首项等于1的等差数列；…（6分）
（II）由（I）知a_n=n，则b_n+1=2b_n+n，…（7分）
设c_n=b_n+n+1，
则c_n+1=b_n+1+（n+1）+1=（2b_n+n）+n+2=2（b_n+n+1）=2c_n…（10分）
又∵c₁=b₁+1+1=4…（11分）
∴数列{c_n}是以4为首项，2为公比的等比数列，即数列{b_n+n+1}是等比数列．…（12分）

点评：本题考查等差数列、等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．