Question

仔细观察下面的不等式，寻找规律，合理猜想出第n个不等式，并用数学归纳法证明你的猜想．
（1+

1

1

）＞

3

，（1+

1

1

）（1+

1

3

）＞

5

，（1+

1

1

）（1+

1

3

）（1+

1

5

）＞

7

，（1+

1

1

）（1+

1

3

）（1+

1

5

）（1+

1

7

）＞

9

，（1+

1

1

）（1+

1

3

）（1+

1

5

）（1+

1

7

）（1+

1

9

）＞

11

．…

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：观察所给不等式，注意不等式的左边与右边的特征，得到猜想，然后利用数学归纳法的证明标准，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可．

解答： 解：猜想：(1+

1

1

)(1+

1

3

)(1+

1

5

)•…•(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

…（3分）
证明：（1）n=1时，不等式显然成立．…（4分）
（2）假设n=k时，不等式成立，即(1+

1

1

)(1+

1

3

)•…•(1+

1

2k-1

)＞

2k+1

成立，
当n=k+1时，
不等式的左边=(1+

1

1

)(1+

1

3

)•…•(1+

1

2k-1

)(1+

1

2k+1

)＞

2k+1

(1+

1

2k+1

)…（4分）
下面证明：

2k+1

(1+

1

2k+1

)≥

2k+3

，由于这个不等式的两边都是正数，只要证明(2k+1)(1+

1

2k+1

)2≥2k+3即可．
而(2k+1)(1+

1

2k+1

)2=(2k+1)(1+

2

2k+1

+

1

(2k+1)2

)＞(2k+1)(1+

2

2k+1

)=(2k+1)

2k+3

2k+1

=2k+3．故n=k+1时不等式成立．
综合（1）和（2）知原不等式对一切正整数成立．…（14分）

点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．