Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=6，侧棱AA₁=4，E，F，G分别是AB，AD，AA₁的中点．
（1）求证：平面EFG∥平面B₁CD₁；
（2）求异面直线EF与B₁C间的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出GE∥D₁C，GF∥B₁C，所以平面EFG∥平面B₁CD₁．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与B₁C间的距离．

解答： （1）证明：如图，∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
E，F，G分别是AB，AD，AA₁的中点，
∴GE∥A₁B，又A₁B∥D₁C，∴GE∥D₁C，
GF∥A₁D，又A₁D∥B₁C，∴GF∥B₁C，
∵GE∩GF=G，∴平面EFG∥平面B₁CD₁．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AB=AD=6，侧棱AA₁=4，
∴E（6，3，0），F（3，0，0），

EF

=(-3，-3，0)，
B₁（6，6，4），C（0，6，0），

B1C

=(-6，0，-4)，
设

EF

，

B1C

的公共法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • EF =-3x-3y=0 n • B1C =-6x-4z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，-

3

2

），
∵

FC

=(-3，6，0)，
∴异面直线EF与B₁C间的距离d=

| FC • n |

| n |

=

|-3-6|

1+1+ 9 4

=

18 17

17

．

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查异面直线间的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．