Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2

2

．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面APC；
（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的大小为

π

6

，求BM的最小值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AC中点O，由已知得三角形ABC为直角三角形，△POA≌△POB≌△POC，由此能证明平面ABC⊥平面APC．
（Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
（Ⅲ）求出平面PAC的法向量和平面PAM的法向量，利用向量法能求出BM的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）取AC中点O，∵AP=BP，∴OP⊥OC，
由已知得三角形ABC为直角三角形，
∴OA=OB=OC，△POA≌△POB≌△POC，
∴OP⊥OB，∴OP⊥平面ABC，
∵OP在平面PAC中，∴平面ABC⊥平面APC．…（4分）
（Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），
C（0，2，0），P（0，0，2

3

），…（5分）
∴

BC

=(-2，2，0)，

PB

=(2，0，-2

3

)，

AP

=(0，2，2

3

)，
设平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
由

BC

•

n

=0，

PB

•

n

=0，
得方程组：

-2x+2y=0 2x-2 3 z=0

，
取z=1，得

n

=(

3

，

3

，1)，…（6分）
∴cos＜

AP

，

n

＞=

21

7

．
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

21

7

．…（8分）
（Ⅲ）由题意平面PAC的法向量

OB

=（2，0，0），
设平面PAM的法向量为

m

=(x，y，z)，M（m，n，0），
∵

AP

=(0，2，2

3

)，

AM

=(m，n+2，0)，
又∵

AP

•

m

=0，

AM

•

m

=0．
∴

2y-2 3 z=0 mx+(n+2)y=0

，取

m

=(

3 (n+2)

m

，-

3

，1)．
cos＜

OB

，

m

＞=

3

3

，
∴（n+2）²=4m²，∴n+2=2m，
|BM|2=(m-2)2+n2=5m2-12m+8=5(m-

6

5

)2+

4

5

，
|BM|min=

2 5

5

，此时M(

6

5

，

2

5

，0)…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查线段的最小值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．